一、前言

計(jì)算機(jī)最喜歡的數(shù)字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只認(rèn)識(shí)這兩個(gè)數(shù)字，即使是強(qiáng)大的操作系統(tǒng)，也都是由 0 和 1 組成的。

作為一名軟件開發(fā)者，入門學(xué)習(xí)的內(nèi)容可能就是認(rèn)識(shí)這 2 個(gè)既簡單、又強(qiáng)大的數(shù)字。但是大部分人，對(duì)于二進(jìn)制、二進(jìn)制計(jì)算、原碼、反碼以及補(bǔ)碼的認(rèn)識(shí)，仍處于機(jī)械的強(qiáng)制記憶階段。尤其是對(duì)一些編碼和計(jì)算，仍然處于模糊的認(rèn)識(shí)階段，例如：

CPU 是如何表示負(fù)數(shù)的？

為什么補(bǔ)碼可以用來表示負(fù)數(shù)？

一個(gè) 8 位的二進(jìn)制數(shù)，最小值為什么是 －128，而不是 －127？

CPU 中的加法器，為什么可以連同符號(hào)位一起運(yùn)算？

這篇文章我們就來聊聊這個(gè)最最基礎(chǔ)的內(nèi)容，幫助你來理解二進(jìn)制計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容，看完這篇文章之后，不僅知其然，更能知其所以然！

PS： 這里有點(diǎn)高調(diào)了，最終的所以然部分，應(yīng)該涉及到數(shù)學(xué)證明這一層次了，本文并不會(huì)涉及到求證過程。

二、從十進(jìn)制到二進(jìn)制 

1． 十進(jìn)制

作為數(shù)學(xué)計(jì)算能力強(qiáng)大的中國，10 以內(nèi)的加減法，應(yīng)該是在幼兒園階段就完成了。如果你不屬于這個(gè)范圍，說明你上的是假幼兒園。

我們來快速復(fù)習(xí)一下關(guān)于十進(jìn)制運(yùn)算的一些基本知識(shí)：

每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 到 9；

每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 10 倍；

兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 10，就向前進(jìn) 1 位，即：滿十進(jìn)一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)（個(gè)位）上的數(shù)字代表多少個(gè) 1；

從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)（十位）上的數(shù)字代表多少個(gè) 10；

從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)（百位）上的數(shù)字代表多少個(gè) 100；

從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)（千位）上的數(shù)字代表多少個(gè) 1000；

十進(jìn)制的數(shù)，可以使用后綴字母 D 來表示，也可以省略。例如：十進(jìn)制的 1234 這個(gè)數(shù)字，個(gè)位上的數(shù)是 4， 十位上的數(shù)是 3， 百位上的數(shù)是 2，千位上的數(shù)是 1（一般是從最右側(cè)的個(gè)位說起），每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)比它右側(cè)大十倍。如下圖：

十進(jìn)制數(shù)據(jù)，也稱作基于十的表示法。

2． 二進(jìn)制

那么對(duì)于二進(jìn)制呢？直接套用上面十進(jìn)制的概念，然后把 10 換成 2 即可（目前先忽略符號(hào)位）：

每一個(gè)數(shù)位上包括的數(shù)字為 0 和 1；

每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，是它右側(cè)數(shù)位的 2 倍；

兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，相同數(shù)位上的數(shù)相加之和如果大于等于 2，就向前進(jìn) 1 位，即：滿二進(jìn)一；

具體來看就是：

從右數(shù)第一個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 1；

從右數(shù)第二個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 2；

從右數(shù)第三個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 4；

從右數(shù)第四個(gè)位數(shù)上的數(shù)字代表多少個(gè) 8；

記住幾個(gè)重點(diǎn)：二進(jìn)制數(shù)中只包含 0 和 1 兩個(gè)數(shù)字，在相加時(shí)滿二進(jìn)一。

在十進(jìn)制中，每一個(gè)數(shù)位我們給它進(jìn)行了專門的命名（個(gè)位、十位、百位．．．），但是二進(jìn)制沒有類似的命名。

二進(jìn)制的數(shù)，使用后綴字母 B 來表示，例如：二進(jìn)制的 1111B 這個(gè)數(shù)字，用圖來表示權(quán)重如下：

換算成十進(jìn)制數(shù)就是 15（1 ＊ 8 ＋ 1 ＊ 4 ＋ 1 ＊ 2 ＋ 1 ＊ 1 ＝ 15）。

在二進(jìn)制中，每一位稱為一個(gè)比特（bit），如果用 8 個(gè) bit 來表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，最小值是 0000＿00000，最大值是 1111＿1111；

如果用 16 個(gè) bit 來表示一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，最小值是 0000＿0000＿0000＿0000，最大值是 1111＿1111＿1111＿1111。（為了便于觀察，每 4 個(gè) bit 之間，加上了分隔符）

在早期的計(jì)算機(jī)中，8 位的處理器很常見，于是就給它一個(gè)專門的名字：字節(jié)（Byte）。16 位的二進(jìn)制數(shù)就是 2 個(gè)字節(jié)，也稱作：字（Word）。