4． 補碼的計算

我們先看一下這個問題：假設(shè)現(xiàn)在時間是 1 點整，但是你的手表進(jìn)水了，它顯示的是 3 點整，現(xiàn)在你怎么把時間調(diào)整到 1 點的位置？

方法1：把時針逆時針撥動 2 個小時（3 － 2 ＝ 1）；

方法2：把時針順時針撥動 9 個小時到 12 點，然后再撥動 1 個小時（3 ＋ 10 ＝ 1）；

對于時鐘表盤來說，每 12 個小時為一圈，可以認(rèn)為：－2 ＝＝ 10，－1 ＝ 11， －3 ＝ 9，同樣的：－2 ＝＝ 10， －2 ＝＝ 22， －2 ＝＝ 34，．．．

可以看到規(guī)律是：－2、10、22、34 這些數(shù)字對 12 取模都得到同一個數(shù)（取正數(shù)），在數(shù)學(xué)上，兩個整數(shù)除以“同一個整數(shù)”，若得相同余數(shù)，則這兩個整數(shù)同余。

表盤中的 12 就是這個“同一個整數(shù)”，可以看到這是一個可“溢出”的系統(tǒng)，－2、10、22、34 這幾個數(shù)在表盤上表示的是一樣的數(shù)，所以說這幾個整數(shù)同余。

也就是說：在計算的時候，可以用 10、22、34 這幾個數(shù)字來替換 －2，替換之后的計算結(jié)果是相同的。

那么對于一個 8 位 的二進(jìn)制數(shù)來說，最多只有 8 位，在計算過程中，如果最高位產(chǎn)生了進(jìn)位，就會被丟棄，所以它也是一個可“溢出”的系統(tǒng)。那么這里的“同一個整數(shù)”是多少呢？

從前面的內(nèi)容中可以看到，使用補碼表示的 8 位二進(jìn)制數(shù)表示的范圍是 －128 ～ 127，一共是 256 個數(shù)，所以如果對 256 取模，得到相同的余數(shù)，那么這些數(shù)就是同余數(shù)。

例如：－2 和 254 對 256 取模，得到相同的余數(shù)，因此它倆就是同余數(shù)，那么在計算的時候，就可以用 254 來代替 －2。

那么我們通過計算 3 ＋ （－2） 來驗證一下。

（1） 利用同余數(shù)來計算

3 ＋ （－2） ＝＝ 3 ＋ 254 ＝ 257

257 超過了最大的表示范圍，所以溢出，結(jié)果就是 257 對 256 取模，結(jié)果為 1。

（2） 直接用補碼來計算

3 的補碼是 0000＿0011，－2 的補碼是 1111＿1110，在計算的時候，把符號位也參與運算：

結(jié)果也是 1，也就是說：

在二進(jìn)制計算中，使用補碼來計算，“天然”就滿足了“同余定理”。

細(xì)心的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：－2 的二進(jìn)制補碼表示，與 254 的二進(jìn)制自然表示，它們的形式是一樣的！

這種“天然”性，是巧合？還是計算機(jī)前輩的設(shè)計結(jié)果？！

五、總結(jié)

這篇文章，我們探討了計算機(jī)系統(tǒng)的軟件基石：二進(jìn)制系統(tǒng)，主要的目的是幫助你理解二進(jìn)制的表示、計算方式。

希望你看完之后能夠豁然開朗！如果對您的理解有幫助的話，請轉(zhuǎn)發(fā)給身邊的技術(shù)小伙伴，共同成長！

謝謝！